[Flight Control 6] - Aircraft Kinematic Equation

Transformation of Gravitational Force

먼저, Kinematic Equation을 도출하기 전에 간단하게 지구 중력에 의한 외력인 mg의 성분을 오일러각을 이용하여 기체 고정 좌표계에 대해 표현 할 수 있다.
여기서 중력은 지면 고정 좌표계에서 Z축의 성분밖에 없으니 아래와 같이 표현한다.

\[mg = mg \hat{k_1} = mg \Phi\Theta\Psi \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -mg\sin\Theta \\ mg\sin\Phi \cos\Theta \\ mg\cos\Phi \cos\Theta \end{pmatrix} \tag{1}\]

따라서, 아래와 같이 선형 운동방정식을 표현할 수 있다.

Equations of Linear Motion

\[X = m(\dot{U} + QW - VR + g\sin{\Theta})\tag{2}\] \[Y = m(\dot{V} + UR - PW - g\cos{\Theta}\sin{\Phi})\tag{3}\] \[Z = m(\dot{W} + VP - UQ - g\cos{\Theta}\cos{\Phi})\tag{4}\]

Aircraft Kinematic Equations

운동학 관계식(Kinematic Equation)은 자세각과 동체 각속도 간의 관계를 표현하며, 운동방정식과 함께 항공기의 운동을 설명한다.
항공기의 각속도 벡터를 기체고정좌표계에서 표현하면 아래와 같다.

\[\omega = P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k} \tag{5}\]

또한, 항공기의 각속도 벡터는 오일러각의 순간적인 시간변화율을 이용하여 아래와 같이 표현할 수 있다.

\[\omega = \omega _\Phi + \omega _ \Theta + \omega _ \Psi \tag{6}\]

먼저, 오일러각의 시간변화율을 이용하여 표현된 각속도 백터를 기체고정좌표계로 표현하면 아래와 같다. 오일러각은 $\dot{\Psi}$는 관성좌표계, $\dot{\Theta}$는 yaw가 변환된 상태의 좌표계, $\dot{\Phi}$는 yaw및 pitch가 변환된 상태의 좌표계에 위치한다.

따라서, $\dot{\Psi}$의 경우 기체고정좌표계에서 표현하기 위하여 $\Phi$ 변환과 $\Theta$ 변환을, $\dot{\Theta}$는 $\Phi$ 변환을 거쳐야 한다.

여기서, $\dot{\Phi}$는 이미 yaw 및 pitch 변환이 적용된 좌표계에서 측정되기 때문에, 기체고정좌표계에서의 각속도 방향과 일치한다. 이 경우에는 추가적인 변환이 필요 없다.

\[\omega _ \Phi = \begin{pmatrix} \dot{\Phi} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{7}\] \[\omega _ \Theta = \Phi \begin{pmatrix} 0 \\ \dot{\Theta} \\ 0 \end{pmatrix} \tag{8}\] \[\omega _ \Psi = \Phi\Theta \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \dot{\Psi} \end{pmatrix} \tag{9}\]

위 세 축의 회전변화율을 DCM(Direction Cosine Matrix)로 표현하게 되면 아래와 같다.
아래 식 (10)은 오일러각의 시간변화율을 항공기 동체의 각속도 성분으로 변환시켜주는 관계식이다.

\[\begin{pmatrix} P \\ Q \\ R \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 &-\sin\Theta \\ 0 & \cos\Phi & \cos\Theta \sin\Phi \\ 0 & -\sin\Phi & \cos\Theta \cos\Phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\Phi} \\ \dot{\Theta} \\ \dot{\Psi} \end{pmatrix} \tag{10}\]

또한, 이 행렬은 DCM과 같은 자세변환행렬과는 달리 직교행렬이 아니기에, 역변환을 하기 위하여 아래와 같이 변환 행렬의 역행렬을 따로 도출하여 곱해줘야한다.

\[\begin{pmatrix} \dot{\Phi} \\ \dot{\Theta} \\ \dot{\Psi} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \sin\Phi \tan\Theta &\cos\Phi \tan\Theta \\ 0 & \cos\Phi & -\sin\Phi \\ 0 & \sin\Phi \sec\Theta & \cos\Phi \sec\Theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} P \\ Q \\ R \end{pmatrix} \tag{11}\]

Kinematic Equations

최종적으로 위 식을 성분별로 표현하면 아래와 같은 운동학 관계식이 도출된다.

\[P = \dot{\Phi} - \dot{\Psi} \sin{\Theta} \tag{12}\] \[Q = \dot{\Theta} \cos{\Phi} + \dot{\Psi} \cos{\Theta} \sin{\Phi} \tag{13}\] \[R = \dot{\Psi} \cos{\Theta} \cos{\Phi} - \dot{\Theta} \sin{\Phi} \tag{14}\]